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AMC8数学知识点|中线与重心

2019-07-15 21:03:15

 大家知道AMC是美国数学竞赛American Mathematical Competition的简称。1950 年美国数学协会Mathematics Association of America (简称MAA),开始举办美国高中数学考试(AHSME)。在1985年时,MAA又增加了初中数学的考试(AJHSME),2000年以后这些考试统一 被称为 AMC,AMC总部现设在美国加州內布拉斯加大学林肯校区。AMC考试包括AMC8AMC10AMC12、AIME、USJMO、USAMO。今天amc数学竞赛网小编就和大家说一说AMC8数学知识点|中线与重心:

很多时候我们会想方设法堆一些上面大、下面小的积木,觉得虽然很难,但正因为如此,才有挑战性。常常在想,一个很大的东西,在哪一点支撑才能让它保持平衡。

大家可以做个实验,随手拿起一本书,用一个指头把它撑起来,试试在哪一点能撑住。结论时在最中间能撑住,即长方形对角线的交点。

对于正三角形来说,也是最中心能撑住。但是对于不规则的三角形,又怎么找恰好能撑住的哪一点呢?我们今天就来学习一下:

首先,对于一条线段一样的物体来说——比如一支笔。假设质量分布均匀的话它一定是在中间能撑住,即中点。

那么对于一个三角形,我们也可以做合理的类比,去各边的中点 ,然后与对边连线,形成中线 (Median).

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三条中线的交点就叫做重心(Gravity Center),根据物理实验的结果,仅在这个点支撑,就能撑住整个三角形。

我们再来看看关于重心的长度性质:

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如图所示,无论三角形怎样变化, AG/GD 的值恒为2,即重心分中线为 2:1 的两部分,这个结论可以用面积法证明。

在上一期“麦田怪圈”中,我们讲到了内心和外心,刚才又讲了重心。至此,常用的三角形四心中就还剩一个垂心 (Orthocenter)了。

找垂心的方式与重心类似,我们要先对三条边进行操作,取每边的垂线,发现它们交于一点。

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这一点,便是垂心。

垂心有很多关于圆的性质,首先是“两个顶点——两个垂足”四点共圆。可以用圆周角相等来证明。

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第二个重要的性质是“顶点——相邻两个垂足——垂心”四点共圆。可以用对角互补来证明。

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这两个与圆有关的性质,在计算角度时很有用噢。